2011年云南省高三数学一轮复习单元测试14：导数及应用（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=x²+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

2. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+（a²+1）x在x=1处的导数值为1，则该函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数y=的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x-1）=2x²-x，则f′（x）=（ ）
A．4x+3
B．4x-1
C．4x-5
D．4x-3

5. 难度：中等

曲线y=x³的切线中斜率等于1的直线（ ）
A．不存在
B．存在，有且仅有一条
C．存在，有且恰有两条
D．存在，但条数不确定

6. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-100），则f′（1）=（ ）
A．-99！
B．-100！
C．-98！
D．0

7. 难度：中等

已知f（x）=2x³-6x²+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是（ ）
A．-37
B．-29
C．-5
D．以上都不对

8. 难度：中等

设过曲线xy=1上两点P₁（1，1），P₂（2，）的切线分别是l₁、l₂，那么l₁与l₂夹角的正切值为（ ）
A．-
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一物体的运动方程为s=t+t²，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为（ ）
A．3米/秒
B．5米/秒
C．7米/秒
D．9米/秒

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥4
B．a=4
C．a≤4
D．0＜a＜4

二、解答题

11. 难度：中等

过点（0，-4）与曲线y=x³+x-2相切的直线方程是     ．

12. 难度：中等

设y=，则y′=    ．

13. 难度：中等

以函数为导数的函数f（x）图象过点（9，1），则函数f（x）=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且对于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a²+2）+f（a²+2a+1）＜0，则实数a的取值范围是     ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在实数集R上的函数，给出下列结论：
①若存在常数x，使f′（x）=0，则函数f（x）必在x处取得极值；
②若函数f（x）在x处取得极值，则函数f（x）在x处必可导；
③若函数f（x）在R上处处可导，则它有极小值就是它在R上的最小值；
④若对于任意x≠x都有f（x）＞f（x），则f（x）是函数f（x）的最小值；
⑤若对于任意x＜x有f′（x）＞0，对于任意x＞x有f′（x）＜0，则f（x）是函数f（x）的一个最大值；
其中正确结论的序号是     ．

16. 难度：中等

设函数，若该函数在实数集R上可导，求实数a、b的值和该函数的最小值．

17. 难度：中等

已知曲线C₁：y=x²-2x+2和曲线C₂：y=x³-3x²+x+5有一个公共点P（2，2），若两曲线在点P处的切线的倾斜角分别是α和β，求tan和sin的值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-6ax²+b（x∈[-1，2]）的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值．

19. 难度：中等

将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减；
（1）求a的值；
（2）是否存在实数b，使得函数g（x）=bx²-1的图象与函数f（x）的图象恰有2个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

已知二次函数y=g（x）的图象经过原点O（0，0）、点P₁（m，0）和点P₂（m+1，m+1）（m≠0，且m≠1），求函数y=g（x）的解析式．