2011年高三数学复习（第4章 平面向量）：4.6 向量的应用（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（ ）
A．akm
B．akm
C．akm
D．2akm

2. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量与的数量积等于与在方向上的投影的乘积
B．非零向量在非零向量方向上投影是一个向量
C．力与其作用下物体产生的位移的数量积就是该力在此过程中所做的功
D．或

3. 难度：中等

图示一单摆在竖直平面做简谐振动，已知摆球质量为m，最大摆角偏离竖直方向为θ，摆长为L，则在摆球从最大位移处第一次回到平衡位置时，绳子拉力对球的冲量大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设0≤θ＜2π，已知两个向量，则向量长度的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

力、共同作用在某质点上，已知互相垂直，则质点所受合力的大小为（ ）
A．7N
B．17N
C．13N
D．10N

6. 难度：中等

一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过小时，该船实际航程为（ ）
A．
B．6km
C．
D．8km

7. 难度：中等

某船开始看见灯塔在南30°东方向，后来船沿南60°东的方向航行45n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）
A．15nmile
B．30nmile
C．
D．

二、解答题

8. 难度：中等

如图所示为一质量为m的球在前进过程中碰到挡板后的情况，已知入射和反射速度大小均为v，则碰撞过程中小球的动量变化大小为    ．

9. 难度：中等

有四个向量满足，，且，||=||=1，则与的夹角=    ．

10. 难度：中等

已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0．
（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是   
（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x，y的关系是    ．
（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x=    时．

11. 难度：中等

某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为    ，风速为    ．

12. 难度：中等

△ABC中，已知，则这个三角形的形状是    ．

13. 难度：中等

如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为    N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力=    ．

14. 难度：中等

如图，为路上做匀速运动的自行车轮子，若已知自行车匀速运动的速度为v，则图中A点的速度大小为     ，B点的速度大小为     ，C点的速度大小为     ．（提示：自行车行驶的轮子既平行又转动）

15. 难度：中等

小船沿垂直河岸的方向行驶，一船相对于水的速度为3m/s，若已知河宽为30m，水流速度为4m/s，则船渡河过程中对地位移的大小为    m，方向为与地面所成角的正切值为．

16. 难度：中等

平面内作用在同一质点O的三个力、处于平衡状态，已知的夹角是45°，求的夹角．

17. 难度：中等

已知△ABC的三边长分别为AB=8，BC=7，AC=3，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为⊙A的任意一条直径，记T=的最大值和最小值，并证明当T取最大值和最小值时，PQ的位置特征是什么．

18. 难度：中等

例1．在△ABC内，求一点P，使最小．

19. 难度：中等

已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M，N，在BN的延长线上取点P，使NP=BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ=CM，利用向量证明：P、A、Q三点共线．

20. 难度：中等

例3．已知

21. 难度：中等

如图所示，有两条相交成60°角的直线xx′，y′y，交点是O，甲、乙分别在ox，oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
（1）起初两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离？
（3）什么时候两人的距离最短？