2004年重庆市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是：（ ）
A．[1，+∞）
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设复数，则Z²-2Z=（ ）
A．-3
B．3
C．-3i
D．3i

3. 难度：中等

圆x²+y²-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为：（ ）
A．2
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

不等式x+＞2的解集是（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（0，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

5. 难度：中等

sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A．-
B．
C．-
D．

6. 难度：中等

若向量的夹角为60°，，则向量的模为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．12

7. 难度：中等

一元二次方程ax²+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜-1
D．a＞1

8. 难度：中等

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为：（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若数列{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃．a₂₀₀₄＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是：（ ）
A．4005
B．4006
C．4007
D．4008

10. 难度：中等

已知双曲线=1，（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

11. 难度：中等

某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若在（1+ax）⁵的展开式中x³的系数为-80，则a=    ．

14. 难度：中等

曲线y=2-x²与y=x³-2在交点处的切线夹角是     ．（以弧度数作答）

15. 难度：中等

如图P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P₃、P₄、…..P_n…，记纸板P_n的面积为S_n，则=    ．

16. 难度：中等

直线：y=k（x-）+5与椭圆：恰有一个公共点，则k取值是    ．

17. 难度：中等

求函数y=sin⁴x+2sinxcosx-cos⁴x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

18. 难度：中等

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为，遇到红灯（禁止通行）的概率为．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：
（I）ξ的概率的分布列及期望Eξ；
（II）停车时最多已通过3个路口的概率．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）．试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程．

22. 难度：中等

设数列{a_n}满足：．
（I）证明：对n∈N^*恒成立；
（II）令，判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．