2010年四川省绵阳市南山中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A=R，集合B=R⁺，下列对应关系中，是从集合A到集合B的映射的是（ ）
A．x→y=|x|
B．x→y=
C．x→y=2^-x
D．x→y=log₂（1+x²）

2. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（ ）
A．5
B．-5
C．
D．

3. 难度：中等

复数z=a+bi（a，b∈R）是方程z²=-3-4i的一个根，则z等于（ ）
A．1+2i
B．-1+2i
C．-1-2i
D．2+i

4. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx，则函数y=f′（x）的图象的一条对称轴为（ ）
A．x=
B．
C．x=π
D．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为q（q为实数），前n项和为S_n，且S₃、S₉、S₆成等差数列，则q³等于（ ）
A．1
B．-
C．-1或
D．1或-

6. 难度：中等

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

7. 难度：中等

若（1+5x²）ⁿ的展开式中各项系数之和是a_n，（2x³+5）ⁿ的展开式中各项的二项式系数之和为b_n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=2，PB=PC=2，则空间一点O到点P、A、B、C等距离的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知2≤x≤3，2x-1≤y≤2x，则的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

10. 难度：中等

已知0＜x＜1，a，b为常数且ab＜0，则的最小值是（ ）
A．（a+b）²
B．（a-b）²
C．a²+b²
D．|a²-b²|

11. 难度：中等

（理）已知双曲线的左焦点为F₁，左、右顶点为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上情况都有可能

12. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与x-3y=0垂直，又f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤-3
B．m≥0
C．m＜-3或m＞0
D．m≤-3或m≥0

二、解答题

13. 难度：中等

某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种    种．（结果用数值表示）

14. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=    ．

15. 难度：中等

已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，则AB上的点P到AC、BC的距离的乘积的最大值是    ．

16. 难度：中等

已知二面角a-a-β为60°，P为二面角内一点，作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，若PB=2，PA=1，则点P到棱α的距离是    ．

17. 难度：中等

设f（x）=6cos²x-2sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足f（a）=3-2，求tanα及的值．

18. 难度：中等

甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差

19. 难度：中等

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求证：平面ECD⊥平面BCD
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥A-ECD的体积．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的一条准线方程为l：x=-，且左焦点F到的l距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于两点A、B、交l于点M，若，，证明λ₁+λ₂为定值．

22. 难度：中等

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：．