2008年北京市丰台区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B等于（ ）
A．{1，2，5}
B．{-1，2，5}
C．{2，5，7}
D．{-7，2，5}

2. 难度：中等

在的展开式中x²项的系数是（ ）
A．240
B．-240
C．15
D．-15

3. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₇=24-a₅，则S₉=（ ）
A．36
B．60
C．72
D．144

4. 难度：中等

已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为-4，则a的值为（ ）
A．-6
B．4
C．-3
D．-4

6. 难度：中等

已知点M（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则r=（x-1）²+（y-2）²的值域为（ ）
A．[8，13]
B．[8，17]
C．
D．

7. 难度：中等

从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）²+（y+2）²=1引切线，则切线长的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．-1

8. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}，在S上定义运算“⊕”为：A_i⊕A_j=A_k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A₂=A的x（x∈S）的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

函数在点P（2，1）处的切线方程为     ．

10. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与函数y=x²（x≤0）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）=    ．

11. 难度：中等

若，，则使不等式成立的x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是    ．

13. 难度：中等

若是偶函数，则a=    ．

14. 难度：中等

设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有    种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有    种（用数字作答）．

15. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率．

16. 难度：中等

已知函数在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

17. 难度：中等

已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的平面角的正切值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1），且存在x使得f（x）＜2（x²+1）成立，求c的值．