2007年陕西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数z=对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第在象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x-3|＜2}，则集合C_uA等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{2，3，4}
C．{1，5}
D．{5}Z

3. 难度：中等

抛物线y=x²的准线方程是（ ）
A．4y+1=0
B．4x+1=0
C．2y+1=0
D．2x+1=0

4. 难度：中等

已知sinα=，则sin⁴α-cos⁴α的值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=2，S₃₀=14，则S₄₀等于（ ）
A．80
B．30
C．26
D．16

6. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）
A．
B．
C．a
D．b

8. 难度：中等

若函数f（x）的反函数为f^-1（x），则函数f（x-1）与f^-1（x-1）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f（x）=log₂x，则f（|x|）是偶函数．
其中不正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③

10. 难度：中等

已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）
A．b≤a≤c
B．a≤c≤b
C．c≤a≤b
D．c≤b≤a

11. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

12. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}，在S上定义运算“⊕”为：A_i⊕A_j=A_k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A₂=A的x（x∈S）的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为    ．

16. 难度：中等

安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有    种．（用数字作答）

17. 难度：中等

设函数，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

18. 难度：中等

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的大小．

20. 难度：中等

设函数f（x）=，其中a为实数．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间．

21. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

22. 难度：中等

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=N*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_k}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b_k}满足（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n