2008年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，集合B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B等于（ ）
A．{1，2，5}
B．{-1，2，5}
C．{2，5，7}
D．{-7，2，5}

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₇=24-a₅，则S₉=（ ）
A．36
B．60
C．72
D．144

3. 难度：中等

已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：
①若α∥β，则m⊥l；
②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β
④若m∥l，则α⊥β
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

若（a为实常数）在区间[0，]上的最小值为-4，则a的值为（ ）
A．-6
B．4
C．-3
D．-4

5. 难度：中等

在△ABC中，若且，则△ABC的形状是△ABC的（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形

6. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

7. 难度：中等

从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）²+（y+2）²=1引切线，则切线长的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．-1

8. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}，在S上定义运算“⊕”为：A_i⊕A_j=A_k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（x⊕x）⊕A₂=A的x（x∈S）的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

若=2，则a=    ．

10. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与函数y=x²（x≤0）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）=    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足条件则r=（x-1）²+（y-2）²的值域是     ．

12. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是    ．

13. 难度：中等

若是偶函数，则a=    ．

14. 难度：中等

设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有    种（用数字作答）；若经过m次跳动质点落在点（n，0）处（允许重复过此点），其中m≥n，且m-n为偶数，则质点不同的运动方法共有    种．

15. 难度：中等

已知m∈R，，，．
（Ⅰ）当m=-1时，求使不等式成立的x的取值范围；
（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．

16. 难度：中等

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑色球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小；
（Ⅲ）若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（），N（0，1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{c_n}对n∈N^*，恒有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值；
（Ⅲ）试比较与的大小．