2006年高考第一轮复习数学：8.4 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

过点（2，4）作直线与抛物线y²=8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

2. 难度：中等

已知双曲线C：x²-=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

3. 难度：中等

双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（1，+∞）
C．（-∞，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

4. 难度：中等

若双曲线x²-y²=1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ）
A．-
B．
C．±
D．±2

5. 难度：中等

已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，5）
C．[1，5）∪（5，+∞）
D．[1，5）

二、解答题

6. 难度：中等

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则△OAB的重心的横坐标为    ．

7. 难度：中等

已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是    ．

8. 难度：中等

已知双曲线x²-=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为    ．

9. 难度：中等

AB为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为    ；若AB的倾斜角为α，则|AB|=    ．

10. 难度：中等

已知直线l：y=tanα（x+2）交椭圆x²+9y²=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围．

11. 难度：中等

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

12. 难度：中等

在抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

13. 难度：中等

求过点（0，2）的直线被椭圆x²+2y²=2所截弦的中点的轨迹方程．

14. 难度：中等

椭圆焦点在x轴，离心率为，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

15. 难度：中等

已知直线y=（a+1）x-1与曲线y²=ax恰有一个公共点，求实数a的值．

16. 难度：中等

如图，椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率．
（2）直线y=k₁x交椭圆于两点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直线y=k₂x交椭圆于两点G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求证：=．
（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|=|OQ|．
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

17. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4（x-1），椭圆C₁的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．
（1）设B是椭圆C₁短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C₂的方程；
（2）如果直线x+y=m与曲线C₂相交于不同两点M、N，求m的取值范围．

18. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），两个焦点分别为F₁和F₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF₂的中点恰为B．若|k|≤，求椭圆C的离心率的取值范围．