2002年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若z∈C且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2-）•=    ．

3. 难度：中等

方程log₃=2x+1的解x=    ．

4. 难度：中等

若正四棱锥的底面边长为cm，体积为4cm³，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是    ．

5. 难度：中等

在二项式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展开式中，各项系数之和分别记为a_n、b_n、n是正整数，则=    ．

6. 难度：中等

已知圆x²+（y-1）²=1和圆外一点p（-2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是     ．

7. 难度：中等

在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判曰原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是     ．（结果用数值表示）

8. 难度：中等

曲线（t为参数）的焦点坐标是     ．

9. 难度：中等

若A、B两点的极坐标为，B（6，0），则AB中点的极坐标是     （极角用反三角函数值表示）

10. 难度：中等

设函数f（x）=-sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是     ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}中，a₁=3，且a_n+1=a_n²（n∈N^*），则数列的通项a_n=    ．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f^-1（x），则方程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f^-1（x）满足    ．

二、选择题

13. 难度：中等

如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）

A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知直线l、m，平面a、b，且l⊥a，mÌb，给出下列四个命题；
（1）若a∥b，则l⊥m．（2）若l⊥m，则a∥b．
（3）若a⊥b，则l∥m．（4）若l∥m，则a⊥b．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

15. 难度：中等

函数y=x+sin|x|，x∈[-π，π]的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）

A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在直-棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

18. 难度：中等

已知点A和B，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x•tanθ-1，．
（1）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．

20. 难度：中等

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额（元）的范围	（200，400）	（400，500）	（500，700）	（700，900）	…
获得奖券的金额（元）	30	60	100	130	…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元），设购买商品得到的优惠率=，试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（4、）和B（5，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=log₂f（n）、n是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_nS_n≤0；
（3）对于（2）中的a_n与S_n，整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由．

22. 难度：中等

规定，其中x∈R，m是正整数，且C_x=1，这是组合数C_n^m（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1） 求C_-15⁵的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m．是否都能推广到C_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．