2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（ ）
A．-2i
B．-i
C．i
D．2i

2. 难度：中等

函数y=（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=（x∈R）
B．y=（x≥0）
C．y=4x²（x∈R）
D．y=4x²（x≥0）

3. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

4. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_k+2-S_k=24，则k=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

5. 难度：中等

设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9

6. 难度：中等

已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A．4种
B．10种
C．18种
D．20种

8. 难度：中等

曲线y=e^-2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

10. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π
B．9π
C．11π
D．13π

12. 难度：中等

设向量，满足，，＜＞=60°，则的最大值等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1

二、解答题

13. 难度：中等

的二项展开式中，x的系数与x⁹的系数之差为    ．

14. 难度：中等

已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=    ．

15. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F₁AF₂的平分线，则|AF₂|=    ．

16. 难度：中等

已知E、F分别在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、CC₁上，且B₁E=2EB，CF=2FC₁，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于    ．

17. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A-C=，a+c=b，求C．

18. 难度：中等

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，
CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

20. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=0且．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：S_n＜1．

21. 难度：中等

已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

22. 难度：中等

（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．