2011年湖南省永州市祁阳县一中高三数学试卷01：曲边梯形面积与定积分（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=sin²x的导数f′（x）=（ ）
A．2sin
B．2sin²
C．2cos
D．sin2

2. 难度：中等

已知函数y=2x³+ax²+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）
A．（2，3）
B．（3，+∞）
C．（2，+∞）
D．（-∞，3）

3. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设，则的值等于（ ）
A．-1
B．1
C．-cos1
D．1-cos1

5. 难度：中等

若函数在x=x处的导数值与函数值互为相反数，则x的值（ ）
A．等于0
B．等于1
C．等于
D．不存在

6. 难度：中等

定积分的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048），为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ）
A．0.032
B．0.024
C．0.04
D．0.036

8. 难度：中等

若函数f（x）=x²lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx²（x＞0）的极值点为β，则有（ ）
A．α＞β
B．α＜β
C．α=β
D．α与β的大小不确定

9. 难度：中等

由曲线y=e^x，y=e^-x以及x=1所围成的图形的面积等于（ ）
A．2
B．2e-2
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）=x³+3x²+3x-a的极值个数是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．与a值有关

11. 难度：中等

经过点（3，0）的直线l与抛物线的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

下列关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的判断正确的是（ ）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
A．①③
B．①②③
C．②
D．①②

二、解答题

13. 难度：中等

已知f（x）=x²，g（x）=x³，若f′（x）-g′（x）=-2，则x=    ．

14. 难度：中等

若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

一个质点以速度v（t）=t²-t+6（m/s）运动，则在时间间隔（1，4）上的位移是    m．

16. 难度：中等

已知函数的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知作用于某一质点的力（单位：N），试求力F从x=0处运动到x=2处（单位：m）所做的功．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，2]和[4，5]上具有相反的单调性．
（1）求实数b的值；
（2）求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x-16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

20. 难度：中等

如图所示，求抛物线y²=2px（p＞0）和过它上面的点的切线的垂线所围成的平面图形的面积．

21. 难度：中等

甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

22. 难度：中等

由曲线y=2x²-2（1≤x≤3）及直线y=0，绕y轴旋转所得的旋转体做容器，每秒钟向容器里注水8cm³，问几秒钟后能注满容器？（坐标的长度单位是cm）