2006年高考第一轮复习数学：5.5 向量的应用（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若O是△ABC内一点，++=，则O是△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

2. 难度：中等

将椭圆x²+6y²-2x-12y-13=0按向量平移，使中心与原点重合，则的坐标是（ ）
A．（-1，1）
B．（1，-1）
C．（-1，-1）
D．（1，1）

3. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y-11=0
B．（x-1）²+（y-2）²=5
C．2x-y=0
D．x+2y-5=0

4. 难度：中等

在四边形ABCD中，•=0，=，则四边形ABCD是（ ）
A．直角梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

5. 难度：中等

已知平面上直线l的方向向量=（-，），点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别是O'和A′，则=λ，其中λ等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

6. 难度：中等

已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足=x²，则点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

7. 难度：中等

台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）
A．0.5小时
B．1小时
C．1.5小时
D．2小时

二、解答题

8. 难度：中等

在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为    ．

9. 难度：中等

有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝    方向行驶．

10. 难度：中等

已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：b⊥（a+tb）．

11. 难度：中等

如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，•=2．
（1）求⊙C的方程；
（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程．

12. 难度：中等

如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

13. 难度：中等

如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上．∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小．（忽略绳子重量）

14. 难度：中等

已知A（4，0），N（1，0），若点P满足•=6||．
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）求||的取值范围；
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范围．

15. 难度：中等

如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，-4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分．

16. 难度：中等

如图，已知△OFP的面积为m，且=1．
（I）若，求向量与的夹角θ的取值范围；
（II）设，且．若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．

17. 难度：中等

已知a=（x²，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]．
（1）求f（x）=a•b的表达式；
（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角．

18. 难度：中等

如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少？（忽略滑轮半径、绳子的重量）