2010年江苏省南通市高三考前100题（二） （解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=m|x-1|（mÎR且m⊃1;0）设向量=（1，cos2θ），=（2，1），=（4sinθ，1），=（，1），当θ∈（0，）时，比较f与f的大小．

2. 难度：中等

已知向量（m为常数），且，不共线，若向量，的夹角为锐角，求实数x的取值范围．

3. 难度：中等

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，且，求sinα的值．

4. 难度：中等

（1）．已知函数y=x+（x＞-2），求此函数的最小值．
（2）已知x＜，求y=4x-1+的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R⁺且x+2y=1，求的最小值．

5. 难度：中等

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底每1m²的造价为150元，池壁每1m²的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

6. 难度：中等

解关于x的不等式12x²-ax＞a²（a∈R）．

7. 难度：中等

已知函数
（1）设ω＞0为常数，若y=f（ωx）在区间上是增函数，求w的取值范围
（2）设集合，若A⊆B，求实数m的取值范围．

8. 难度：中等

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．数列{b_n}是等比数列，b₃=a₂+a₃，b₂b₅=128（其中n=1，2，3，…）．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（II）记c_n=a_nb_n，求数列c_n前n项和T_n．

10. 难度：中等

将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．

11. 难度：中等

图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（5）=______；f（n）-f（n-1）=______．

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=，公比q满足q＞0且q≠1．又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n]的通项
（2）令b_n=，求证：对于任意n∈N^*，都有+…+＜1

13. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求数列x_n的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列y_n的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．

14. 难度：中等

若sinA=，sinB=，且A，B均为钝角，求A+B的值．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C分别对应边为a，b，c，b=acosC，判断△ABC的形状．

16. 难度：中等

a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，其外接圆的半径为1，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，边b，c是关于x的方程：x²-3x+4cosA=0两个根（b＞c），求：角A的值及边a，b，c的值．

17. 难度：中等

在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边分别是a，b，c，且b²=ac
（1）求证：；
（2）求函数的值域．

18. 难度：中等

在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s=27t-0.45t²（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？

19. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

设a≥0，f （x）=x-1-ln²x+2a ln x（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf'（x），讨论F（x）在（0．+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2a ln x+1．

21. 难度：中等

（1）曲线C：y=ax³+bx²+cx+d在（0，1）点处的切线为l₁：y=x+1在（3，4）点处的切线为l₂：y=-2x+10，求曲线C的方程；（2）求曲线S：y=2x-x³的过点A（1，1）的切线方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

23. 难度：中等

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

24. 难度：中等

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

25. 难度：中等

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．

26. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

27. 难度：中等

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

29. 难度：中等

过曲线C：y=x³上的点P₁（x₁，y₁）作曲线C的切线l₁与曲线C交于点P₂（x₂，y₂），过点P₂作曲线C的切线l₂与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），…，已知x₁=1．
（1）求点P₂、P₃的坐标；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）记点P_n到直线l_n+1（即直线P_n+1P_n+2）的距离为d_n，求证：．