2011年江苏省高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1，2，4}，B={-1，0，2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=log₅（2x+1）的单调增区间是    ．

3. 难度：中等

设复数z满足i（z+1）=-3+2i（i为虚数单位），则z的实部是    ．

4. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为    ．

5. 难度：中等

从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是    ．

6. 难度：中等

某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s²=    ．

7. 难度：中等

已知，则的值为    ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=    ．

10. 难度：中等

已知，是夹角为的两个单位向量，=-2，=k+，若•=0，则实数k的值为    ．

11. 难度：中等

已知实数a≠0，函数，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e^x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是    ．

13. 难度：中等

设 1=a₁≤a₂≤…≤a₇，其中a₁，a₃，a₅，a₇ 成公比为q的等比数列，a₂，a₄，a₆ 成公差为1的等差数列，则q的最小值是    ．

14. 难度：中等

设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）若，求A的值；
（2）若，求sinC的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．

17. 难度：中等

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

19. 难度：中等

已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

20. 难度：中等

设M为部分正整数组成的集合，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立
（1）设M={1}，a₂=2，求a₅的值；
（2）设M={3，4}，求数列{a_n}的通项公式．

21. 难度：中等

A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂ ）．圆O₁的弦AB交圆O₂于点C （ O₁不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，向量．求向量，使得A²=．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

22. 难度：中等

 如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC₁上．设二面角A₁-DN-M的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；
（2）当 时，求CM 的长．

23. 难度：中等

设整数n≥4，P（a，b） 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．
（1）记A_n 为满足a-b=3 的点P 的个数，求A_n；
（2）记B_n 为满足 是整数的点P 的个数，求B_n．