高考数学一轮复习必备（第119-122课时）： 不等式问题的题型与方法（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知非负实数x，y且满足2x+3y-8≤0，则x+y的最大值是（ ）
A．
B．
C．2
D．4

2. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=-（5-2a）^x是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a＜2
C．1＜a＜2
D．a≤1或a≥2

3. 难度：中等

函数y=的定义域是（ ）
A．[-，-1）∪（1，]
B．（-，-1）∪（1，）
C．[-2，-1）∪（1，2]
D．（-2，-1）∪（1，2）

4. 难度：中等

不等式1＜|x+1|＜3的解集为（ ）
A．（0，2）
B．（-2，0）∪（2，4）
C．（-4，0）
D．（-4，-2）∪（0，2）

5. 难度：中等

设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]∪[0，10]
B．（-∞，-2]∪[0，1]
C．（-∞，-2]∪[1，10]
D．[-2，0]∪[1，10]

6. 难度：中等

设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x-1|≤2，x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．{3，4}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2，3，4}

7. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，-1
B．1，-17
C．3，-17
D．9，-19

8. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数多个

二、解答题

9. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：

x	-3	-2	-1		1	2	3	4
y	6		-4	-6	-6	-4		6

则不等式ax²+bx+c＞0的解集是    ．

10. 难度：中等

设集合M={（x，y）|x=（y+3）|y-1|+（y+3），}，若（a，b）∈M，且对M中的其它元素（c，d），总有c≥a，则a=    ．

11. 难度：中等

某村计划建造一个室内面积为800 m²的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

12. 难度：中等

解关于x的不等式＞0

13. 难度：中等

求a，b的值，使得关于x的不等式ax²+bx+a²-1≤0的解集分别是：（1）[-1，2]；（2）（-∞，-1]∪[2，+∞）；（3）{2}；（4）[-1，+∞）．

14. 难度：中等

解关于x的不等式＞a-a^x（a＞0且a≠1）．

15. 难度：中等

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值．

16. 难度：中等

设p=（log₂x）²+（t-2）log₂x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项和为s_n，且a_n是s_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为B_n，试比较与2的大小．
（Ⅲ）设T_n=，若对一切正整数n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常数，设实数a，a，b满足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）证明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；

19. 难度：中等

解关于x的不等式：．

20. 难度：中等

已知不等式|x+3|＞2|x|①，②2x²+mx-1＜0③．
（1）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围．
（2）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

22. 难度：中等

设等差数列{a_n}的首项a₁＞0且Sm=Sn（m≠n）．问：它的前多少项的和最大？

23. 难度：中等

若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（-2）的范围．

24. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax-bx²．
（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；
（2）当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2；
（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件．

25. 难度：中等

小刚同学在今年暑假的社会调查实践活动中，对我区一牛奶制品厂进行了采访获得了如下信息：①该厂牛奶的加工量三月份比一月份增长了44%；②该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；③六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了4.668吨；④该厂第一季度共加工牛奶18.2吨．利用以上信息求：
（1）该厂第一季度加工量的月增长率；
（2）该厂第二季度的总加工量．

26. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切x都有|b²-4ac|＞1．

27. 难度：中等

某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

28. 难度：中等

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

29. 难度：中等

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

30. 难度：中等

某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降阶1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？

31. 难度：中等

已知函数，（1）证明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

32. 难度：中等

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
（1）证明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）证明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．