2007年湖南省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．4i
B．-4i
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

不等式≤0的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（-1，2）
B．[-1，2]
C．（-∞，-1）∪[2，+∞）
D．（-1，2]

3. 难度：中等

设M，N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

设，都是非零向量，若函数f（x）=（x+）•（-x）（x∈R）是偶函数，则必有（ ）
A．⊥
B．∥
C．||=||
D．||≠||

5. 难度：中等

设随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1）．已知Φ（-1.96）=0.025，则P（|ξ|＜1.96）=（ ）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975

6. 难度：中等

函数的图象和函数g（x）=log₂x的图象的交点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数f（x）在x=x处连续，则
B．函数的不连续点是x=2和x=-2
C．若函数f（x）、g（x）满足，则
D．

8. 难度：中等

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA₁，DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．
B．1
C．
D．

9. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设集合M={1，2，3，4，5，6}，S₁、S₂、…、S_k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S_i={a_i，b_i}，S_j={a_j，b_j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有min≠min（min{x，y}表示两个数x、y中的较小者）．则k的最大值是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

二、解答题

11. 难度：中等

圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=12x-x³在区间[-3，3]上的最小值是    ．

14. 难度：中等

设集合，B={（x，y）|y≤-|x|+b}，A∩B≠∅．
（1）b的取值范围是     ；
（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是     ．

15. 难度：中等

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第    行；第61行中1的个数是    ．
第1行1    1
第2行1   0   1
第3行1   1  1   1
第4行1   0  0  0   1
第5行1  1   0  0   1   1
…

16. 难度：中等

已知函数，．
（I）设x=x是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x）的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．

18. 难度：中等

如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G₁AB，△G₂CD，并连接G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD、连接BG₂，如图2．
（I）证明：平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（II）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角．

19. 难度：中等

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km、当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（III）在AB上是否存在两个不同的点D'，E'，使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论、

20. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．
（I）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（II）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N*）是曲线y=e^x上的点，a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（I）证明：数列（n≤2）是常数数列；
（II）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；
（III）证明：当a∈M时，弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．