2008年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin（π-α）cos（-α）=（ ）
A．
B．
C．sin2α
D．cos2α

2. 难度：中等

定义映射f：A→B，若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log₃x，则A中元素9的象是（ ）
A．-2
B．2
C．-3
D．3

3. 难度：中等

若a为实数，则圆（x-a）²+（y+2a）²=1的圆心所在的直线方程为（ ）
A．2x+y=0
B．x+2y=0
C．x-2y=0
D．2x-y=0

4. 难度：中等

1+2+2²+…+2⁹的值为（ ）
A．512
B．511
C．1024
D．1023

5. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x与g（x）=2^-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m，n与l所成的角相等，则m∥n
B．若l与α，β所成的角相等，则α∥β
C．若m n与α所成的角相等，则m∥n
D．若α∥β，m⊥α，则m∥β

7. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F，直线l过点F．若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题（ ）
①当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数；
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有3 个实根，其中正确命题的个数为．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量=（1，-2），=（ 4，2），那么与夹角的大小是     ．

10. 难度：中等

已知点A分有向线段所成的比为-2，且M（1，3），，那么A点的坐标为     ．

11. 难度：中等

已知椭圆的一条准线方程是x=4，那么此椭圆的离心率是     ．

12. 难度：中等

设地球的半径为R，则地球北纬60°的纬线圈的周长等于     ．

13. 难度：中等

设圆x²+y²-2x=0关于直线x+y=0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为     ．再把圆C沿向量a=（1，2）平移得到圆D，则圆D的方程为     ．

14. 难度：中等

定义运算：=ad-bc，若数列{a_n}满足=1，且=2（n∈N^*）则a₃=    ．数列{a_n}的通项公式为a_n=    ．

15. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，设函数f（x）=•．
（I）求的值及函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，．
（Ⅰ）求二面角A-BC-S的大小；
（Ⅱ）求直线AB与平面SBC所成角的大小．（用反三角函数表示）

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为．每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．
（I）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（II）求团体总分为4分的概率；
（III）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛．求该小组参加复赛的概率．

18. 难度：中等

将数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．
（Ⅰ）若数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f（1）=n²，求数列{a_n}的通项公式；
（III）设T_m为第m行所有项的和，在（II）的条件下，用含m的代数式表示T_m．

19. 难度：中等

已知O为坐标原点，点F的坐标为（1，0），点P是直线m：x=-1上一动点，
点M为PF的中点，点Q满足QM⊥PF，且QP⊥m．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点（2，0）的直线l与点Q的轨迹交于A、B两点，
且∠AFB=θ．试问角θ能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a的取值范围．