2008年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

某中学有高一、高二、高三学生共1600名，其中高三学生400名．如果用分层抽样的方法从这1600人中抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80

3. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x与g（x）=2^-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m，n与l所成的角相等，则m∥n
B．若l与α，β所成的角相等，则α∥β
C．若m n与α所成的角相等，则m∥n
D．若α∥β，m⊥α，则m∥β

6. 难度：中等

若（n是正整数），则a_n+1=a_n+（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知全集U=R，且A={x||x-1|＞2}，B={x|x²-6x+8＜0}，则（C_UA）∩B等于（ ）
A．（2，3）
B．[2，3]
C．（2，3]
D．（-2，3]

8. 难度：中等

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₀的值是（ ）
A．4020
B．4019
C．4020
D．4019

二、解答题

9. 难度：中等

已知映射f：A→B，集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log₃x，那么A中元素的象是    ．

10. 难度：中等

集合，B={x||x-2|＜3}，A∪B=    ．

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₉=6，则=    ．

12. 难度：中等

设圆x²+y²-2x=0关于直线x+y=0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为     ．再把圆C沿向量a=（1，2）平移得到圆D，则圆D的方程为     ．

13. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AB和CC₁的中点，则线段EF被正方体的内切球球面截在球内的线段长为    ．

14. 难度：中等

中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“”）的对角线走．例如马从方格中心点O走一步，会有8种走法．则从图中点A走到点B，最少需    步，按最少的步数走，共有    种走法．

15. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，设函数f（x）=•．
（I）求的值及函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）当A₁P=A₁B₁时，求CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A₁P=A₁B₁时，求点C到平面D₁DP的距离．

17. 难度：中等

某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动． A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个．假定参赛者答对每个题的概率均为．
（I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7．
（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F₂，当时，求△PF₂Q的面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.．