2010年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

a、b是实数，集合M={，1}，N={a，0}，映射f：x→x即将集合M中的元素x映射到N中仍是x，则a+b的值等于（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．±1

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=9，S₆=36，则a₇+a₈+a₉=（ ）
A．63
B．45
C．36
D．27

3. 难度：中等

在复平面内复数（1-i）²对应的点位于（ ）
A．一、三象限的角平分线上
B．二、四象限的角平分线上
C．实轴上
D．虚轴上

4. 难度：中等

以下命题中正确的是（ ）
A．若x∈R且x≠0，则x+≥2恒成立
B．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
C．对等差数列{a_n}的前n项和S_n，若对任意正整数n都有S_n+1＞S_n，则a_n+1＞a_n对任意正整数n恒成立
D．a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的充要条件

5. 难度：中等

设函数，则f（x）（ ）
A．在区间上是增函数
B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数

6. 难度：中等

已知是非零向量且满足，则的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知f（x）=x²+2x•f′（1），则 f′（0）等于（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-4

8. 难度：中等

将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有（ ）
A．76种
B．100种
C．132种
D．150种

9. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）

A．9π
B．12π
C．16π
D．32π

11. 难度：中等

方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（）=f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f（）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

设（x+1）²+（x+1）¹¹=a+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₁₀（x+2）¹⁰+a₁₁（x+2）¹¹，则a₁₀=    ．（用数值表示）．

14. 难度：中等

若，则a+b=    ．

15. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a＜b，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当∠CEB=90°时，二面角C-EF-B的平面角的余弦值等于    ．

16. 难度：中等

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC中，．
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．

18. 难度：中等

某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

19. 难度：中等

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的大小．

20. 难度：中等

已知a≥0，函数f（x）=（x²-2ax）e^x．
（Ⅰ）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．

22. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；试用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，证明：．
（3）当n∈N^*时，证明．