2002年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），则||的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ）
A．y=cos²
B．y=2|sinx|
C．
D．y=-cot

4. 难度：中等

64个直径都为的球，记它们的体积之和为V_甲，表面积之和为S_甲；一个直径为a的球，记其体积为V_乙，表面积为S_乙，则（ ）
A．V_甲＞V_乙且S_甲＞S_乙
B．V_甲＜V_乙且S_甲＜S_乙
C．V_甲=V_乙且S_甲＞S_乙
D．V_甲=V_乙且S_甲=S_乙

5. 难度：中等

已知某曲线的参数方程是（j为参数）．若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）
A．ρ=1
B．ρcos2θ=1
C．ρ²sin2θ=1
D．ρ²cos2θ=1

6. 难度：中等

给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

7. 难度：中等

已知z₁，z₂∈C且|z₁|=1．若z₁+z₂=2i，则|z₁-z₂|的最大值是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

8. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．3
B．-3
C．-2
D．-

9. 难度：中等

12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）
A．C₁₂⁴C₈⁴C₄⁴种
B．3C₁₂⁴C₈⁴C₄⁴种
C．C₁₂⁴C₈⁴P₃³种
D．种

10. 难度：中等

在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为 ，那么袋中球的总个数为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（ ）

A．（-3，-）∪（0，1）∪（，3）
B．（-，-1）∪（0，1）∪（，3）
C．（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3）
D．（-3，-）∪（0，1）∪（1，3）

12. 难度：中等

如图所示，f_i（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x₁和x₂，任意λ∈[0，1]，f[λx₁+（1-λ）x₂]≤λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）恒成立”的只有（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

，，从小到大的顺序是     ．

14. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=2，公差不为零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于    ．

15. 难度：中等

关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是     （注：把你认为是正确判断的序号都填上）．

16. 难度：中等

已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为    ．

17. 难度：中等

解不等式．

18. 难度：中等

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h．
（Ⅰ）求侧面ABB₁ A₁与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD．

19. 难度：中等

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值．

20. 难度：中等

在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求n个不同的数v₁，v₂，…，v_n的和．计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：

第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
被读机号	结  果	被读机号	结  果	被读机号	结  果
1	v1	2	v1+v2
2	v2	1	v2+v1

（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表

第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
被读机号	结  果	被读机号	结  果	被读机号	结  果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）

21. 难度：中等

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．

22. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求证数列{u_n}是等差数列，并求{u_n}的通项公式．