2007年湖南省高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式x²＞x的解集是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，1）
C．（1，+∞）
D．（-∞，0）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设p：b²-4ac＞0（a≠0），q：关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，若，则该数列的前10项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在（1+x）ⁿ（n∈N^*）的二项展开式中，若只有x⁵的系数最大，则n=（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

6. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁、BC₁的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．EF与BB₁垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A₁C₁异面

7. 难度：中等

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）

A．48米
B．49米
C．50米
D．51米

8. 难度：中等

函数的图象和函数g（x）=log₂x的图象的交点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且|F₁F₂|=|F₂P|，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设集合M={1，2，3，4，5，6}，S₁、S₂、…、S_k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S_i={a_i，b_i}，S_j={a_j，b_j}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有min≠min（min{x，y}表示两个数x、y中的较小者）．则k的最大值是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

二、解答题

11. 难度：中等

圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=    ．

13. 难度：中等

若=    ．

14. 难度：中等

设集合A={（x，y）|y≥|x-2|，x≥0}，B={（x，y）|y≤-x+b}，A∩B≠∅，b的取值范围是    ．

15. 难度：中等

棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是    ；设E、F分别是该正方形的棱AA₁、DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为    ．

16. 难度：中等

已知函数．求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间．

17. 难度：中等

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（Ⅱ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率．

18. 难度：中等

如图，已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成的角为30°．
（Ⅰ）证明BC⊥PQ；
（Ⅱ）求二面角B-AC-P的大小．

19. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
（I）证明为常数；
（Ⅱ）若动点（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，a₁=a，且S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）证明数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列；
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b_n}（n∈N^*）中的所有项都是数列{a_n}中的项，并指出b_n是数列{a_n}中的第几项．

21. 难度：中等

已知函数在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点．
（Ⅰ）求a²-4b的最大值；
（Ⅱ）当a²-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．