2009年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合C_U（A∩B）=（ ）
A．{3}
B．{4，5}
C．{3，4，5}
D．{1，2，4，5}

2. 难度：中等

若=（2，4），=（1，3），则=（ ）
A．（1，1）
B．（-1，-1）
C．（3，7）
D．（-3，-7）

3. 难度：中等

已知是纯虚数（其中i是虚数单位），若θ∈[0，2π），则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X_甲、X_乙，则下列结论正确的是（ ）

A．X_甲＞X_乙，甲比乙成绩稳定
B．X_甲＞X_乙，乙比甲成绩稳定
C．X_甲＜X_乙，甲比乙成绩稳定
D．X_甲＜X_乙，乙比甲成绩稳定

5. 难度：中等

若几何体的三视图如图所示，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A．2π
B．4π
C．5π
D．6π

6. 难度：中等

已知x函数的零点，若0＜x₁＜x，则f（x₁）的值为（ ）
A．恒为负值
B．等于0
C．恒为正值
D．不大于0

7. 难度：中等

在△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，则=（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．

8. 难度：中等

分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点P是抛物线y²=4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d₁，到直线x+2y+10=0的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

设，若x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，若n∈N^*，（n+1）S_n＜nS_n+1，且，则在数列{S_n}中（ ）
A．最大值是S₈
B．最小值是S₈
C．最大值是S₇
D．最小值是S₇

12. 难度：中等

规定[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.1]=3，[-2.6]=-3，[-2]=-2；若f′（x）是函数f（x）=ln|x|导函数，设g（x）=f（x）•f′（x），则函数y=[g（x）]+[g（-x）]的值域是（ ）
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{0}
D．{偶数}

二、解答题

13. 难度：中等

已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是     ．

14. 难度：中等

执行如图所示的程序，若P=0.9，则输出的n值是    ．

15. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在该双曲线上，若，则=    ．

16. 难度：中等

若实数x、y满足约束条件，则实数x+2y的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知，，O为坐标原点，a≠0，设，b＞a．
（I）若a＞0，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）若函数y=f（x）的定义域为，值域为[2，5]，求实数a与b的值．

18. 难度：中等

某市十所重点中学进行高三联考，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩作为样本，制成如下频率分布表：

（1）根据上面频率分布表，求①，②，③，④处的数值；
（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；
（3）从样本在[80，100]的个体中任意抽取2个个体，求至少有一个个体落在[90，100]的概率．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，点B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB₁⊥BC₁，且∠B₁BC=60°，求证A₁C∥平面AB₁D．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂=-10．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=+ax²+bx+5，记f（x）的导数为f′（x）．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且时，y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；
（II）在（I）的条件下，求函数f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若关于x的方程f’（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2试问：是否存在正整数n，使得？说明理由．