高考数学一轮复习必备（第81课时）：第九章 直线、平面、简单几何体-棱柱、棱锥（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

6、如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心

3. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P-BC-A的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

正三棱锥V-ABC中，AB=1，侧棱VA，VB，VC两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

7. 难度：中等

一个长方体全面积是20cm²，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为    ．

8. 难度：中等

三棱锥A-BCD的高，且H是底面△BCD的垂心，若AB=AC，二面角A-BC-D为60°，G为△ABC的重心，则HG的长为    ．

9. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AA₁=5，AB=12，那么直线B₁C₁和平面A₁BCD₁的距离是     ．

10. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱BB₁在下底面上的射影平行于AC，如果侧棱BB₁与底面所成的角为30°，∠B₁BC=60°，则∠ACB的余弦为    ．

11. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD中，高，两相邻侧面所成角为γ，，
（1）求侧棱与底面所成的角．
（2）求侧棱长、底面边长和斜高（如图）．

12. 难度：中等

如图正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；
（2）求平面AB₁D与侧面AB₁所成的角及平面AB₁D与底面所成的角；
（3）求A₁到平面AB₁D的距离．

13. 难度：中等

如图，已知三棱锥P-ABC的侧面PAC是底角为45°的等腰三角形，PA=PC，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，B₁C₁=3．
（1）求证：二面角A-PB-C是直二面角；
（2）求二面角P-AB-C的正切值；
（3）若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体ABC-A₁B₁C₁，求几何体ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

14. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，侧棱AA₁=13cm，顶点A₁与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．

15. 难度：中等

如图，已知PO为正三棱锥P-ABC的高，AB=a，侧面与底面成α角，过O点作平面平行于PC和AB，得截面EFGH．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面积．

16. 难度：中等

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，在侧棱BB₁上截取，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A，D，E作棱柱的截面．
（1）求证：截面ADE⊥侧面ACC₁A₁；
（2）求截面ADE与底面ABC所成的角．