2011年辽宁省名校高三数学单元测试：不等式（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点p₁（-1，0），，p₄（0，0）则在2x-3y+1≤0表示的平面区域内的点是（ ）
A．p₂，
B．P₂，P₃
C．P₁，P₃
D．P₁，P₂

2. 难度：中等

如果关于x的不等式5x²-a≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a的取值范围是（ ）
A．80≤a＜125
B．80＜a＜125
C．a＜80
D．a＞125

3. 难度：中等

关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集，a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．a＞1
C．0＜a≤1
D．a≥1

4. 难度：中等

若A={x|2≤2^2-x＜8，x∈Z}，B={x||log₂x|＞1，x∈R}，则A∩（C_RB）的元素个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）
A．a，b均为负数，则
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设x为实数，P=e^x+e^-x，Q=（sinx+cosx）²，则P、Q之间的大小关系是（ ）
A．P≥Q
B．P≤Q
C．P＞Q
D．P＜Q

7. 难度：中等

当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）
B．[2，+∞]
C．[3，+∞]
D．（-∞，3）

8. 难度：中等

使不等式a²＞b²，，lg（a-b）＞0，2^a＞2^b-1＞1同时成立的a、b、1的大小关系是（ ）
A．a＞1＞b
B．b＞a＞1
C．a＞b＞1
D．1＞a＞b

9. 难度：中等

对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]²-36[x]+45＜0成立的x的范围是（ ）
A．（）
B．[2，8]
C．[2，8）
D．[2，7]

10. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

11. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示：若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（，3）

二、解答题

13. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，x∈[0，π]上的图象如图，则不等式的解集是    ．

14. 难度：中等

已知向量与互相垂直，且点（m，n）在第一象限内运动，则log₂m+log₂n的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知，则z=（x+1）²+（y+1）²的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么；
②已知a、b、m都是正数，并且a＜b，则；
③若a、b∈R，则a²+b²+5≥2（2a-b）；
④2-3x-的最大值是2-4．
⑤原点与点（2，1）在直线的异侧．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

17. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx²-bx+a＞0”，有如下解法：
【解析】
由ax²-bx+c＞0⇒，令，则，
所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．
参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），求关于x的不等式的解集．

18. 难度：中等

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．

19. 难度：中等

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q （件）与实际销售价x （元）满足关系Q=
（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³+3bx²+3cx在两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；
（2）证明：

21. 难度：中等

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

22. 难度：中等

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：；
（2）当a，b，x均是正数，且a＜b，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明；
（3）证明：△ABC中，（可直接应用第（1）、（2）小题结论）
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题．