1980年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

将多项式x⁵y-9xy⁵分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．

2. 难度：中等

半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

3. 难度：中等

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．

4. 难度：中等

证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．

5. 难度：中等

直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．

6. 难度：中等

设三角函数，其中k≠0．
（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．

7. 难度：中等

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．

8. 难度：中等

已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．

9. 难度：中等

抛物线的方程是y²=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x，y）是抛物线y²=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．

10. 难度：中等

设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．