2009年福建省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=sinxcosx的最小值是（ ）
A．-1
B．-
C．
D．1

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x＞0}，则∁_UA等于（ ）
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0或x＞2}
D．{x|x≤0或x≥2}

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=6，a₃=4，则公差d等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

（1+cosx）dx等于（ ）
A．π
B．2
C．π-2
D．π+2

5. 难度：中等

下列函数f（x）中，满足“对任意x₁、x₂∈（0，+∞），当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂）的是（ ）
A．f（x）=
B．f（x）=（x-1）²
C．f（x）=e^x
D．f（x）=ln（x+1）

6. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

7. 难度：中等

设m，n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且l∥α
B．m∥l₁且n∥l₂
C．m∥β且n∥β
D．m∥β且n∥l₂

8. 难度：中等

已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15

9. 难度：中等

设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于   （ ）
A．以，为邻边的平行四边形的面积
B．以，为两边的三角形面积
C．，为两边的三角形面积
D．以，为邻边的平行四边形的面积

10. 难度：中等

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（ ）
A．{1，2}
B．{1，4}
C．{1，2，3，4}
D．{1，4，16，64}

二、解答题

11. 难度：中等

若=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=    ．

12. 难度：中等

某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字a=    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=    ．

14. 难度：中等

若曲线f（x）=ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为    ．

16. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．
（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ

17. 难度：中等

如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠OBA=75°，⊙O的半径为1，
则OC的长等______

18. 难度：中等

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

19. 难度：中等

已知A，B 分别为曲线C：+y²=1（y≥0，a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C于点T．
（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（Ⅰ）若对任意的t∈（x₁，x₂），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（Ⅱ）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）．

21. 难度：中等

（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y-12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数；
（3）解不等式|2x-1|＜|x|+1．