1977年河北省高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

叙述函数的定义．

2. 难度：中等

求函数的定义域．

3. 难度：中等

计算：．

4. 难度：中等

计算log₄2．

5. 难度：中等

分解因式x²y-2y³．

6. 难度：中等

计算：．

7. 难度：中等

如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．

8. 难度：中等

证明：．

9. 难度：中等

已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．

10. 难度：中等

某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

11. 难度：中等

工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）

12. 难度：中等

已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC²=AB•AD．

13. 难度：中等

下列两题选做一题．
（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y²=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．
（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．

14. 难度：中等

将函数f（x）=e^x展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）

15. 难度：中等

利用定积分计算椭圆所围成的面积．