2011年云南省高三数学一轮复习单元测试06：数列（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列-1，，-，，…的一个通项公式是（ ）
A．a_n=（-1）ⁿ
B．a_n=（-1）ⁿ
C．a_n=（-1）ⁿ
D．a_n=（-1）ⁿ

2. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知S₆=36，S_n=324，S_n-6=144，则n=（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18

3. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，S₄=1，S₈=3，则a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值是（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20

4. 难度：中等

已知-9，a₁，a₂，-1四个实数成等差数列，-9，b₁，b₂，b₃，-1五个实数成等比数列，则b₂（a₂-a₁）=（ ）
A．8
B．-8
C．±8
D．

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，若a₁＞0，S₄=S₈，则当S_n取得最大值时，n的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=log₂（n∈N^*），设其前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n（ ）
A．有最小值63
B．有最大值63
C．有最小值31
D．有最大值31

7. 难度：中等

设数列{a_n}是公比为a（a≠1），首项为b的等比数列，S_n是前n项和，对任意的n∈N₊，点（S_n，S_n+1）在（ ）
A．直线y=ax-b上
B．直线y=bx+a上
C．直线y=bx-a上
D．直线y=ax+b上

8. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n项和，当n≥2时，a_n=3S_n，则的值是（ ）
A．-2
B．-
C．-
D．1

9. 难度：中等

北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新的车辆数约为现有总车辆数的（参考数据：1.1⁴=1.46，1.1⁵=1.61）（ ）
A．10%
B．16.4%
C．16.8%
D．20%

10. 难度：中等

已知a₁，a₂，a₃，…，a₈为各项都大于零的数列，则“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比数列”的（ ）
A．充分且必要条件
B．充分但非必要条件
C．必要但非充分条件
D．既不充分也不必要条件

二、解答题

11. 难度：中等

给定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定义乘积a₁•a₂…a_k为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为     ．

12. 难度：中等

已知集合A_n={x|2ⁿ＜x＜2ⁿ⁺¹，且x=7m+1，m，n∈N₊}，则A₆中各元素的和为     ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第    项．

14. 难度：中等

若a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c依次成等比数列，公比为q，则q³+q²+q=    ．

15. 难度：中等

若数列{a_n}（n∈N₊）为等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c_n}是等比数列且c_n＞0（n∈N₊），则有数列d_n=    （n∈N₊）也是等比数列．

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{b_n}的第一项、第二项、第三项．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）设数列{c_n}对任意的n∈N^*均有，求数列{c_n}的前n项和．

17. 难度：中等

已知f（x+1）=x²-4，等差数列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-，a₃=f（x）
（1）求x的值和数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求a₂+a₅+a₈+…+a₂₆的值．

18. 难度：中等

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

19. 难度：中等

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（），又数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=，设b_n=．
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（a_n）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数f（t）满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f（t）＞t；
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由．