2011年高三数学复习（第11章 导数及其应用）：11.1 导数应用的题型与方法（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数f（x）在x处可导，则等于（ ）
A．f′（x）
B．f′（-x）
C．-f′（x）
D．-f（-x）

2. 难度：中等

若，则f′（x）等于（ ）
A．
B．
C．3
D．2

3. 难度：中等

曲线y=x³-3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）
A．（-1，2）
B．（1，-2）
C．（1，2）
D．（-1，2）或（1，-2）

4. 难度：中等

若函数f（x）的导函数为f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
A．90°
B．0°
C．锐角
D．钝角

5. 难度：中等

函数f（x）=2x³-3x²-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12，-15
B．-4，-15
C．12，-4
D．5，-15

6. 难度：中等

一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度
B．时间t时该物体的瞬时速度
C．当时间为△t时该物体的速度
D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率

7. 难度：中等

关于函数f（x）=2x³-6x²+7，下列说法不正确的是（ ）
A．在区间（-∞，0）内，f（x）为增函数
B．在区间（0，2）内，f（x）为减函数
C．在区间（2，+∞）内，f（x）为增函数
D．在区间（-∞，0）∪（2，+∞）内，f（x）为增函数

8. 难度：中等

对任意x，有f′（x）=4x³，f（1）=-1，则此函数为（ ）
A．f（x）=x⁴-2
B．f（x）=x⁴+2
C．f（x）=x³
D．f（x）=-x⁴

9. 难度：中等

设f（x）在x处可导，下列式子中与f′（x）相等的是（ ）
（1）；（2）；
（3）（4）．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（2）（3）（4）

10. 难度：中等

f（x）是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）

A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称
B．若a=-1，-2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根
C．若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根
D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根

二、解答题

11. 难度：中等

若函数f（x）在点x处的导数存在，则它所对应的曲线在点（x，f（x））处的切线方程是    ．

12. 难度：中等

设，则它与x轴交点处的切线的方程为     ．

13. 难度：中等

设f′（x）=-3，则=    ．

14. 难度：中等

垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x³+3x²-5相切的直线方程是    

15. 难度：中等

已知曲线，则y′|_x=1=    ．

16. 难度：中等

y=x²e^x的单调递增区间是     ．

17. 难度：中等

曲线在点处的切线方程为     ．

18. 难度：中等

P是抛物线y=x²上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是    ．

19. 难度：中等

在抛物线y=x²上依次取两点，它们的横坐标分别为x₁=1，x₂=3，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为     ．

20. 难度：中等

在x=1处可导，则a=    b=    ．

21. 难度：中等

已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：
（1）；
（2）．

22. 难度：中等

观察（xⁿ）′=nx^n-1，（sinx）=cosx，（cosx）′=-sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数．

23. 难度：中等

求曲线y=在点（1，1）处的切线方程是 ______．

24. 难度：中等

求下列函数单调区间：
（1）；
（2）；
（3）（k＞0）；
（4）y=2x²-lnα．

25. 难度：中等

如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为 ______．

26. 难度：中等

利用导数求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

27. 难度：中等

求满足条件的a．
（1）使y=sinx+ax为R上增函数；
（2）使y=x³+ax+a为R上的增函数；
（3）使f（x）=ax³-x²+x-5为R上的增函数．

28. 难度：中等

设正数a，b满足条件a+b=3，则直线（a+b）x+aby=0的斜率的取值范围是______．

29. 难度：中等

设a＞0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．

30. 难度：中等

已知抛物线y=x²-4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l₁和l₂．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线l₁与l₂的夹角．

31. 难度：中等

设a＞0，是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

32. 难度：中等

设函数，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调函数．

33. 难度：中等

已知a＞0，函数，x∈（{0，+∞}），设，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0）证明：．

34. 难度：中等

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

35. 难度：中等

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，c^-1c）处的切线l与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值．

36. 难度：中等

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

37. 难度：中等

已知f（x）=在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

38. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

39. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（）＜（b-a）ln2．

40. 难度：中等

曲线f（x）=x³在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程．

41. 难度：中等

在抛物线y=x²上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为．

42. 难度：中等

判断函数在x=0处是否可导．

43. 难度：中等

求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程．

44. 难度：中等

求曲线y=xcosx在处的切线方程．

45. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+b，g（x）=x²+cx+d．若f（2x+1）=4g（x），且f′x=g′（x），f（5）=30，求g（4）．

46. 难度：中等

已知曲线C₁：y=x²与C₂：y=-（x-2）²．直线l与C₁、C₂都相切，求直线l的方程．

47. 难度：中等

设f（x）=（x-1）（x-2）…（x-100），求f′（1）．

48. 难度：中等

求曲线在点处的切线方程．

49. 难度：中等

求证方程x•lgx=1在区间（2，3）内有且仅有一个实根．

50. 难度：中等

已知a，b，c∈R，证明：a²+4b²+9c²≥2ab+3ac+6bc．

51. 难度：中等

（1）求函数在x=1处的导数；
（2）求函数y=x²+ax+b（a、b为常数）的导数．

52. 难度：中等

证明：如果函数y=f（x）在点x处可导，那么函数y=f（x）在点x处连续．

53. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈（0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0）证明：
①；
②若则．