1978年全国统一高考数学试卷（附加题）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（1）分解因式：x²-2xy+y²+2x-2y-3．
（2）求，
（3）求函数y=的定义域．
（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．
（5）计算：的值．

2. 难度：中等

已知两数x₁，x₂满足下列条件：
（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；
（2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和．
求根为的方程．

3. 难度：中等

已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．

4. 难度：中等

（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α．
求证：．，．

5. 难度：中等

设有f（x）=4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）x+（m+1）²．（p≠0）求证：
（1）如果f（x）的系数满足p²-4q-4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．
（2）如果f（x）与F（x）=（2x²+ax+b）²表示同一个多项式，那么p²-4q-4（m+1）=0．

6. 难度：中等

已知：asinx+bcosx=0  ①，Asin2x+Bcos2x=C   ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b²-a2）B+（a²+b²）C=0

7. 难度：中等

已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．