1964年全国统一高考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

化简．

2. 难度：中等

甲乙两人在P点的河对岸的D点，甲向东走，乙向西走，甲每分钟比乙多走a米，10分钟后，甲看P在北α度西，乙看P在北β度东，求PD．

3. 难度：中等

解方程x⁴+1=0，并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点．

4. 难度：中等

求证：在△ABC中，其中α，β，γ是三角形的内角，．

5. 难度：中等

已知x³+mx²-3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．

6. 难度：中等

圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离．

7. 难度：中等

已知空间四点A、B、C、D和两平面M、N，又知A、B、C、D在M内的射影A₁B₁C₁D₁是一条直线，在N内的射影A₂B₂C₂D₂是一个平行四边形，求证ABCD是一个平行四边形．

8. 难度：中等

如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

9. 难度：中等

第8题的题干为：如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
变式（1）在第8题中，若正方形改为矩形，情况又如何？
（2）在第8题中，若正方形改为正方体，圆改为球，情况如何？