2009年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z满足z（1+i）=1-i（I是虚数单位），则其共轭复数=    ．

2. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是    ．

3. 难度：中等

若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是    ．

4. 难度：中等

某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是    ．

5. 难度：中等

如图，若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，高为4，则异面直线BD₁与AD所成角的大小是    （结果用反三角函数值表示）．

6. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x的最小值是    ．

7. 难度：中等

某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ    （结果用最简分数表示）．

8. 难度：中等

已知三个球的半径R₁，R₂，R₃满足R₁+2R₂=3R₃，则它们的表面积S₁，S₂，S₃，满足的等量关系是    ．

9. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF₁F₂的面积为9，则b=    ．

10. 难度：中等

在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于    ．

11. 难度：中等

当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a_n}满足a_n∈（-），且公差d≠0，若f（a₁）+f（a₂）+…f（a₂₇）=0，则当k=    时，f（a_k）=0．

13. 难度：中等

某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）    为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．

14. 难度：中等

将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x²+ax+1=0有虚根”的．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．

17. 难度：中等

有专业机构认为甲型N₁H₁流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为6，中位数为8
B．乙地：总体均值为5，总体方差为12
C．丙地：中位数为5，众数为6
D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0

18. 难度：中等

过圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S_|+S_IV=S_||+S_|||则直线AB有（ ）

A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

20. 难度：中等

有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

21. 难度：中等

已知双曲线，设直线l过点，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

22. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．

23. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？说明理由；
（2）找出所有数列{a_n}和{b_n}，使对一切n∈N^*，，并说明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，试确定所有的p，使数列{a_n}中存在某个连续p项的和是数列{b_n}中的一项，请证明．