2011年高三数学复习（第5章 不等式）：5.2 不等式证明（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设M=a+（2＜a＜3），N=（x²+）（x∈R），那么M、N的大小关系是（ ）
A．M＞N
B．M=N
C．M＜N
D．不能确定

2. 难度：中等

绘制频数分布直方图时，各小长方形面积占全体小长方形总面积的百分比刚好等于相应各组的（ ）
A．组距
B．平均值
C．频数
D．频率

3. 难度：中等

已知a，b∈R⁺，则与的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．x≥y
C．x≤y
D．不确定

二、解答题

4. 难度：中等

设a，b∈R⁺，且a+b=2，则的最小值是    ．

5. 难度：中等

对任意锐角θ，都有，恒成立，则λ的最大值是    ．

6. 难度：中等

若a＞b＞c＞1，P=，是P与Q中的较小者是    ．

7. 难度：中等

用比较法证明下列不等式x，y∈R，x≠y，求证：x⁴+y⁴＞x³y+xy³．

8. 难度：中等

x∈R，求证：1+2x²≥2x+x²．

9. 难度：中等

某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少？

10. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．

11. 难度：中等

西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．
（1）该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
（2）该经营户要想每天盈利最大，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

12. 难度：中等

某地区原有可退耕还林面积63.68万亩，从2000年开始执行国家退耕还林政策，当年就退耕还林8万亩，此后退耕还林的面积逐年增加，到2002年底共退耕还林29.12万亩．
（1）求2001年、2002年退耕还林面积的平均增长率．（参考数据：3.4²=11.56）
（2）该地区从2003年起加大退耕还林的力度．设2003年退耕还林的面积为y万亩，退耕还林面积的增长率为x．试写出y与x的函数关系式，并求出当y不小于14.4万亩时x的取值范围．

13. 难度：中等

设a＞0，b＞0，M=，N=+，则M与N的大小关系是______

14. 难度：中等

自极点O作射线与直线ρcosθ=3相交于点M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12，求点P的轨迹方程，并判断点P的轨迹与直线（t是参数）的位置关系．

15. 难度：中等

已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，则xy的最小值______．

16. 难度：中等

a、b∈R⁺，，求证：之间

17. 难度：中等

例1．a、b、c≥0，求证a³+b³+c³≥3abc．

18. 难度：中等

a、b、c是△ABC的三边，求证a²+b²+c²＜2（ab+bc+ac）．

19. 难度：中等

某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？

20. 难度：中等

例4．若x∈（0，1），a＞0且a≠1，求证：|log_a^（1-x）|＞log_a^（1+x）|．

21. 难度：中等

已知0＜a＜，A=1-a²，B=1+a²，C=，D=．比较A、B、C、D的大小．