2011年广东省汕头市澄海中学高三摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x＞0}
B．{x|-3＜x＜0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|-3＜x＜-1}

2. 难度：中等

sin15°cos15°=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知点A（1，-3），B（-1，3），则直线AB的斜率是（ ）
A．
B．
C．3
D．-3

4. 难度：中等

给出下列四个函数：①f（x）=x+1，=2 ②，③f（x）=x²，④f（x）=sinx，其中在（0，+∞）是增函数的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

已条变量x，y满足则x+y的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=-25，S₃=S₈，则前n项和s_n的最小值为（ ）
A．-80
B．-76
C．-75
D．-74

8. 难度：中等

如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上．过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设平面向量，则=    ．

10. 难度：中等

一个田径队，有男运动员20人，女运动员10人，比赛后立刻用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为6人的样本进行兴奋剂检查，其中男运动员应抽    人．

11. 难度：中等

曲线y=x²+2x-1在点（1，2）处的切线方程是    ．

12. 难度：中等

执行程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

13. 难度：中等

若直线ax+y+1=0与圆x²+y²-2x+4y+3=0相切，则实数a=    ．

14. 难度：中等

若不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|-1＜x＜3}，且ax²+bx+c＞1的解集是空集，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin+
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f（x+），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

16. 难度：中等

将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．设复数z=a+bi．
（1）求事件“z-3i为实数”的概率；
（2）求事件“|z-2|≤3”的概率．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值．

20. 难度：中等

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．