2010年高考数学模拟组合试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义A⊗B={z|z=xy+，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（ ）
A．3
B．9
C．18
D．27

2. 难度：中等

若函数f（x）存在反函数f^-1（x），且函数f（x）的图象在点（x，f（x））处的切线方程为2x-y+3=0，则函数f^-1（x）的图象在点（f（x），x）处的切线方程为（ ）
A．x-2y-3=0
B．2x-y+3=0
C．x-2y+3=0
D．2x+y-3=0

3. 难度：中等

做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是（ ）
A．30份
B．35份
C．40份
D．65份

4. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD在映射f：（x，y）→（x+1，2y）作用下的象集为四边形A₁B₁C₁D₁，若四边形A₁B₁C₁D₁的面积是12，则四边形ABCD的面积是（ ）

A．9
B．6
C．
D．12

5. 难度：中等

“f（x）=是定义在（0，+∞）上的连续数”是“直线（a²-a）x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

关于函数f（x）=sin²x-（）^|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①f（x）是奇函数②当x＞2003时，f（x）＞恒成立③f（x）的最大值是④f（x）的最小值是-．
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．16π
B．8π
C．4π
D．2π

8. 难度：中等

某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右准线分别为l₁、l₂，且分别交x轴于C、D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l₂交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

从点A（2，-1，7）沿向量的方向取线段AB长为34，则点B的坐标为    ．

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=3，，AC=2，若O为△ABC的外心，则=-．

13. 难度：中等

已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=    ．

14. 难度：中等

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，且AA₁=2AB，D是CC₁上的一点，设C₁D=λC₁C，若直线A₁D与侧面BCC₁B₁所成的角为30°，则λ=    ．

15. 难度：中等

给出以下几个命题，正确的是    ．
①函数对称中心是；
②已知S_n是等差数列{a_n}，n∈N^*的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
③函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R）为奇函数的充要条件是q=0；
④已知a，b，m均是正数，且a＜b，则．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x，2）和（x+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．

17. 难度：中等

某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为，乌克兰队赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若中国队第n局的得分记为a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知椭圆的右焦点恰好是抛物线C：y²=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点．过点A的直线l交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q．若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程．

19. 难度：中等

如图：已知BB₁，CC₁是Rt△ABC所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC所成的角均为60^°，且BB₁∥CC₁，线段BB₁的端点B₁在平面ABC的射影M恰是BC的中点，已知BC=2，∠ACB=90°
①求异面直线AB₁与BC₁所成的角．
②若二面角A-BB₁-C的大小为30°，求三棱锥C₁-ABC的体积．
③在②的条件下，求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角正切值．

20. 难度：中等

已知函数，存在实数x₁，x₂满足下列条件：①x₁＜x₂；②f′（x₁）=f′（x₂）=0；③|x₁|+|x₂|=2
（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围；
（3）若函数h（x）=f′（x）-6a（x-x₁），证明：当x₁＜x＜2时|h（x₁）|≤12a．

21. 难度：中等

设数列{a_n}、{b_n}满足，且，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对一切n∈N^*，证明成立；
（Ⅲ）记数列{a_n²}、{b_n}的前n项和分别是A_n、B_n，证明：2B_n-A_n＜4．