2011年山西省太原市高三基础知识测试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，若（1+i）•z=i，则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设{a_n}是公比为正数的等比数列，若a₁=1，a₅=16，则数列{a_n}的前7项的和为（ ）
A．63
B．64
C．127
D．128

3. 难度：中等

已知R是实数集，等于（ ）
A．（0，2）
B．[0，2）
C．ϕ
D．[0，2]

4. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件

5. 难度：中等

如图，是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2a的直角三角形，侧视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交

8. 难度：中等

给出50个数：1，2，4，7，11，…，要计算这50个数的和，现给出该问题的程序框图，如图所示，则框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）

A．i≤50？，p=p+i-1
B．i≤51？，p=p+i+1
C．i≤51？，p=p+i
D．i≤50？，p=p+i

9. 难度：中等

已知实数a，b满足0＜b＜a＜1，则下列关系式中可能成立的有（ ）
①2^a=3^b；②log₂a=log₃b；③a²=b³．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

10. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长均为2，高为3，点M在线段AA₁上，且AM=1，点N、P分别在线段BB₁、CC₁上，且NP∥BC，若平面MNP把三棱柱分成体积相等的两部分，则BN的长为（ ）

A．2
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若双曲线的离心率的取值范围是，则它的两条渐近线所成锐角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

把偶函数y=f（x）的图象向右平移一个单位后得到的是一个奇函数的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．-9
B．0
C．9
D．-1

二、解答题

13. 难度：中等

在一次运动员选拔中，测得7名选手身高（单位：cm）的分布茎叶图如图所示，已知记录的平均身高为177cm，有一名选手的身高记录不清，其末位数为x，则x的值为    ．

14. 难度：中等

有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为    ．

15. 难度：中等

若实x，y满足不等式组目标函t=x-2y的最大值为2，则实a的值是    ．

16. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线m为抛物线在第一象限内一点P处的切线，过P作平行于x轴的直线n，过焦点F平行于m的直线交n于点M，若|PM|=4，则点P的坐标为    ．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=5，S₅=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和T_n．

18. 难度：中等

一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．

19. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）若∠A₁DC₁=90°，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆，左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分别是直线上的两上动点，且的最小值为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过定点P（m，0）的直线交椭圆于B、E两点，A为B关于x轴的对称点（A、P、B不共线），问：直线AE是否会经过x轴上一定点，并求AE过椭圆焦点时m的值．

21. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=，b为常数．
（1）证明：函数f（x）的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f（x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值．

22. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，
（1）求PF的长度．
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点，倾斜角，曲线C的极坐标方程为．
（I）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（II）设l与曲线C相交与两个点A、B，求|PA|•|PB|．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．