2010年高考数学专项复习：立体几何（3）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
求证BC∥平面MNB₁．

2. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

3. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

4. 难度：中等

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

5. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求证：BC⊥A₁D；
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．

6. 难度：中等

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；（6分）
（2）求证：平面DEF⊥平面BEF．（8分）

7. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若SA=a，∠ASC=，求三棱锥S-AEF的体积．