2008年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是（ ）．
A．[-3，+∞）
B．[-3，2）∪（2，+∞）
C．（-3，2）∪（2，+∞）
D．（-∞，2）∪（2，+∞）

2. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=3^x+1的图象关于y轴对称，则函数f（x）的表达式为（ ）．
A．f（x）=-3^x-1
B．f（x）=3^x-1
C．f（x）=-3^-x+1
D．f（x）=3^-x+1

3. 难度：中等

如图，正方体AC₁中，E、F分别是DD₁、BD的中点，则直线AD₁与EF所成的角余弦值是（ ）．

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为（ ）．
A．C₂₄⁴C₁₆⁶
B．C₂₄⁶C₁₆⁴
C．C₂₄⁸C₁₆²
D．C₂₄⁷C₁₆³

5. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

制作一个面积为1 m²，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是（ ）．
A．5.2m
B．5m
C．4.8m
D．4.6m

7. 难度：中等

已知O为△ABC内一点，且，则△AOC与△ABC的面积之比是（ ）．
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．1：1

8. 难度：中等

集合M由满足以下条件的函数f（x）组成：对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．对于两个函数，以下关系成立的是（ ）．
A．f₁（x）∈M，f₂（x）∈M
B．f₁（x）∉M，f₂（x）∉M
C．f₁（x）∉M，f₂（x）∈M
D．f₁（x）∈M，f₂（x）∉M

二、解答题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，z₁=1-i，z₂=3+i，则z₁•z₂等于     ．

10. 难度：中等

已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是     ．

11. 难度：中等

设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域上运动，则z=x+y的最小值是    ．

12. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=    ．

13. 难度：中等

如图，已知F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则=    ；椭圆C的离心率为    ．

14. 难度：中等

把形如M=mⁿ（m，n∈N^*）的正整数表示成各项都是整数，公差为2的等差数列前n项的和，称作“对M的m项分划”，例如：9=3²=1+3+5称作“对9的3项分划”；64=4³=13+15+17+19称作“对64的4项分划”，据此对324的18项分划中最大的数是     ．

15. 难度：中等

已知（）．
（Ⅰ）求cosx的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小．

17. 难度：中等

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P₂．
（1）若m=10，求甲袋中红球的个数；
（2）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P₂的值；
（3）设P₂=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知点（n，a_n）（n∈N^*）在函数f（x）=-2x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n是6S_n与8n的等差中项．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，（n∈N*）．求数列{d_n}的前n项和D_n；
（3）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁，x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，a≠0），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

19. 难度：中等

已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点．求证：为定值．

20. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄，a，a₁，a₂，a₃，a₄∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设，求证：．