2009年清华大学自主招生数学试卷（理科）（解析版）
一、解答题
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| 2. 难度：中等 |
已知不等式 对任意x、y的正实数恒成立，求正数a的最小值．
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| 3. 难度：中等 |
请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列．
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| 4. 难度：中等 |
已知椭圆 ，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ， ，AR成等比数列．
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| 5. 难度：中等 |
已知sint+cost=1，设s=cost+isint，求f（s）=1+s+s2+…sn．
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| 6. 难度：中等 |
随机挑选一个三位数I，
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率．
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| 7. 难度：中等 |
证明：若是第四象限角，则 - =2tanα．
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| 8. 难度：中等 |
记 ．若函数 ，
用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．
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| 9. 难度：中等 |
设a1，a2，…，a2n+1均为整数，性质P为：对a1，a2，…，a2n+1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等求证：a1，a2，…，a2n+1全部相等当且仅当a1，a2，…，a2n+1具有性质P．
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的整数部分为a，小数部分为b，（1）求a，b；（2）求
；（3）求
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