2010年江西省南昌市新建二中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合A，B之间的⊗运算为A⊗B{z|z=log_xy，x∈A，y∈B}，若A{1，2，3}，B={1，2，3}，则集合A⊗B中的元素个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．9

2. 难度：中等

将函数f（x）=x³的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）满足g（2+x）+g（2-x）=2，则向量的坐标是（ ）
A．（2，1）
B．（-2，-1）
C．（2，2）
D．（1，2）

3. 难度：中等

若函数y=f（x+1）与y=e^2x+2的图象关于直线y=x对称，则f（x）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若函数在x=1处连续，则展开式中常数项是（ ）
A．70
B．-70
C．140
D．-140

5. 难度：中等

设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（-2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

掷一个均匀的正方体骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则下列事件中概率最大的是（ ）
①3朝上；②偶数朝上；③合数朝上；④6朝上．
A．①
B．②
C．③
D．④

7. 难度：中等

设地球表面积为S，则地球表面上从A地（北纬45°，东经120°）到B地（北纬45°，东经30°）的最短距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若方程x²+ax+b=0的两根分别为sinθ和cosθ，则点（a，b）的轨迹是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果θ∈（0，2π），且（1+sin²θ）sinθ＞（1+cos²θ）cosθ，那么角θ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
A．f（2）＞e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
B．f（2）＜e²f（0），f（2010）＞e²⁰¹⁰f（0）
C．f（2）＞e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）
D．f（2）＜e²f（0），f（2010）＜e²⁰¹⁰f（0）

11. 难度：中等

如图，一个熟鸡蛋的轴截面由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x＜0）合成（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁、A₂和B₁、B₂是轴截面与x，y轴的交点，阴影部分是蛋黄（球形）轴截面，若蛋黄的体积是，F₁，F₂在蛋黄球面上，△FF₁F₂是等边三角形，则a，b的值分别为（ ）

A．5，3
B．，1
C．，1
D．5，4

12. 难度：中等

设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F、G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2^x（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（ ）
A．g（x）=2^|x|
B．g（x）=log₂|x|
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

若θ为锐角，且，则tanθ=    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}中，，S_2n=a₁+a₂+…+a_2n，则=    ．

15. 难度：中等

如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有    种不同的走法．

16. 难度：中等

下面关于三棱锥P-ABC的五个命题中，正确的命题有     ．①当△ABC为等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；②当△ABC为等边三角形，侧面都为等腰三角形时，三棱锥P-ABC为正三棱锥；③当△ABC为等边三角形，点A在侧面PBC上的射影是三角形PBC的垂心时，P-ABC为正三棱锥；④若三棱锥P-ABC各棱相等时，它的外接球半径和高的比为3：4：⑤当三棱锥P-ABC各棱长相等时，若动点M在侧面PAB内运动，且点M到面ABC的距离与点M到点P的距离相等，则M的轨迹为椭圆的一部分．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（其中S_△ABC为△ABC的面积）．
（1）求；
（2）若b=2，△ABC的面积S_△ABC=3，求a．

18. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序加工结果均有A，B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

（1）已知甲、乙两种产品第一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等级的概率P_甲，P_乙；
（2）现要求生产甲，乙两种产品各100个和200个，求这批产品中甲，乙分别有多少个一等品；
（3）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη．

19. 难度：中等

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．

21. 难度：中等

在面积为9的△ABC中，，且．
（1）建立适当的坐标系，求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（2）过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DE，DF（E，F为垂足），求的值．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₂=2，（n-1）a_n+1-na_n+1=0（n∈N^*），求数列{a_n}的通项．