2011年高考数学复习：4 平面向量、数系的扩充与复数的引入（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

下列四个命题：①²=a²•b²；②|a+b|＞|a-b|；③|a+b|²=（a+b）²；④若a∥b，则a•b=|a|•|b|．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

P₁（2，-1），P₂（0，5），且P在P₁P₂的延长线上，使||=2||，则点P为（ ）
A．（2，11）
B．（，3）
C．（，3）
D．（2，-7）

4. 难度：中等

，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4+2，=3+4，则△OAB的面积等于（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5

5. 难度：中等

△ABC中，D为BC的中点，已知=，=，则在下列向量中与同向的向量是（ ）
A．+
B．-
C．
D．|a|a+|b|b

6. 难度：中等

已知向量p=（2，x-1），q=（x，-3），且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax=2}，则实数a构成的集合是（ ）
A．{0}
B．{}
C．空集
D．{0，}

7. 难度：中等

x、y均是实数，i是虚数单位，复数+i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

，是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数f（x）=（x+）•（-x）（x∈R）在（0，+∞）上有最大值，则（ ）
A．||＜||，且θ是钝角
B．||＜||，且θ是锐角
C．||＞||，且θ是钝角
D．||＞||，且θ是锐角

9. 难度：中等

知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量=（1+sinA，1+cosA），=（1+sinB，-1-cosB），则与的夹角是（ ）
A．锐角
B．钝角
C．直角
D．不确定

10. 难度：中等

△ABC中，若对任意t∈R，恒有|-t|≥||，则（ ）
A．∠A=90°
B．∠B=90°
C．∠C=90°
D．∠A=∠B=∠C=60°

11. 难度：中等

||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（ ）
A．
B．3
C．
D．

12. 难度：中等

△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形

二、解答题

13. 难度：中等

复数-i的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数a=    ．

14. 难度：中等

知复数z₁=4+2i，z₂=k+i，且z₁•₂是实数，则实数k=    ．

15. 难度：中等

已知向量与的夹角为120°，若向量=+，且⊥，则=    ．

16. 难度：中等

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

17. 难度：中等

设a=（-1，1），b=（4，3），c=（5，-2），
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值．
（2）求c在a方向上的投影．

18. 难度：中等

知||=1，||=，
（1）若与的夹角为，求|+|．
（2）若-与垂直，求与的夹角．

19. 难度：中等

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，．
求：（1）求cos（α-β）的值；
（2）若，且，求sinα的值．

21. 难度：中等

已知A（1，0），B（0，2），C（-3，1），．
（1）求D点坐标．
（2）若D点在第二象限，用，表．
（3）=（m，2），若3+与垂直，求坐标．

22. 难度：中等

ABC的面积S满足≤S≤3，且•=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．