2008年北京市崇文区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=2cos²x的一个单调增区间是（ ）．
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

3. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=5，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+3=0上，则a_n=（ ）．
A．3n-2
B．2n-3
C．3n+2
D．2n+3

4. 难度：中等

若函数f（x）的反函数是f^-1（x）=2^x+1，则f（1）的值为（ ）．
A．-4
B．4
C．-1
D．1

5. 难度：中等

若半径为1的球与120°的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是（ ）．
A．
B．π
C．
D．

6. 难度：中等

按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法为（ ）．
A．C₂₅¹⁰A₁₀¹⁰
B．A₁₀⁶
C．C₁₀⁴
D．A₆⁶A₄⁴

7. 难度：中等

给出下列命题，则其中的真命题是（ ）．
A．若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．已知平面a、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β
C．直线m、n在平面α内的射影分别是一个点和一条直线，且m⊥n，则n⊂α或n∥α
D．直线m、n是异面直线，若m∥α，则n必与α相交

8. 难度：中等

若定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

二、解答题

9. 难度：中等

函数的定义域是     ．

10. 难度：中等

若某椭圆焦点与短轴顶点构成正方形，则该椭圆的离心率为     ．

11. 难度：中等

二项式的展开式中常数项等于     ．

12. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q不为1，若向量=（a₁，a₂），=（a₁，a₃），=（-1，1）满足（4-）=0，则q=    ．

13. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+5，则f′（3）=    ．

14. 难度：中等

在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列{a_n}：C₁¹，C₂，C₂²，C₃¹，C₄，C₃³，C₄²，C₅¹，C₆，…，则a₂₂=    ．（用数值作答）．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C分别所对的边为a，b，c，且sinBcosA+sinAcosB=sin2C，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求边长c．

17. 难度：中等

已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A、B两组，每组4人．
（Ⅰ）求A组中恰有一名医务人员的概率；
（Ⅱ）求A组中至少有两名医务人员的概率．

18. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=，DF=1，P是线段EF上的动点．
（Ⅰ）若点O为正方形ABCD的中心，求直线OP与平面ABCD所成角的最大值；
（Ⅱ）当点P为EF的中点时，求直线BP与FA所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的大小．

19. 难度：中等

已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且，设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为，求△QMN的面积S的最大值．

20. 难度：中等

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．