2003年北京市春季高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={y|y=3^-x}，P={y|y=}，则M∩P=（ ）
A．{y|y＞1}
B．{y|y≥1}
C．{y|y＞0}
D．{y|y≥0}

2. 难度：中等

若，则方程f（4x）=x的根是（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

3. 难度：中等

设复数z₁=-1+i，z₂=，则=（ ）
A．
B．
C．
D．-

4. 难度：中等

函数f（x）=的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若A，B，C是△ABC的三个内角，且A＜B＜C，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinA＜sinC
B．cosA＜cosC
C．tgA＜tgC
D．ctgA＜ctgC

7. 难度：中等

椭圆（θ为参数）的焦点坐标为（ ）
A．（0，0），（0，-8）
B．（0，0），（-8，0）
C．（0，0），（0，8）
D．（0，0），（8，0）

8. 难度：中等

如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．0°

9. 难度：中等

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A．42
B．96
C．48
D．124

10. 难度：中等

已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x²+y²=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形（ ）
A．是锐角三角形
B．是直角三角形
C．是钝角三角形
D．不存在

11. 难度：中等

若不等式|ax+2|＜6的解集为（-1，2），则实数a等于（ ）
A．8
B．2
C．-4
D．-8

12. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95
B．91
C．88
D．75

二、解答题

13. 难度：中等

如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=    ．

14. 难度：中等

在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（     ）内．

年龄（岁）	30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米）	110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米）	70 73 75 78 80 83 （ ）88

15. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为的正三角形，则b²的值是    ．

16. 难度：中等

若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px-）（x∈R），则f（x）的一个正周期为    ．

17. 难度：中等

解不等式：．

18. 难度：中等

已知函数，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．

19. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-EFD₁的体积V．

20. 难度：中等

某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

21. 难度：中等

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆O_n的面积为a_n（n∈N）．
（Ⅰ）证明{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值．

22. 难度：中等

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A，B两点．
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．