2011年高三数学单元检测：圆锥曲线与方程（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

2. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．，
B．
C．
D．

3. 难度：中等

+y²=1的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF₂|等于（ ）
A．
B．
C．
D．4

4. 难度：中等

已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

5. 难度：中等

动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线

6. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过点（2，-2）且与双曲线-y²=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

8. 难度：中等

若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F₁，则满足△ABF₁为等边三角形的椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

以双曲线-3x²+y²=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

双曲线的虚轴长为4，离心率，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF₂|与|BF₂|的等差中项，则|AB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．8

11. 难度：中等

已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线的方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

12. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

二、解答题

13. 难度：中等

如果椭圆上的弦被点（1，-2）平分，那么这条弦所在的直线方程是     ．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=    ．

15. 难度：中等

过点A（0，2）可以作     条直线与双曲线有且只有一个公共点．

16. 难度：中等

如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD．若双曲线C₁以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为     ．

17. 难度：中等

双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的离心率．

18. 难度：中等

椭圆的离心率为，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P，Q，且，求椭圆的方程．

19. 难度：中等

某公司准备在门前建造一个长轴为20米，短轴长为16米的椭圆形喷水池．在长轴上的M₁、M₂处设计两个喷水头，使喷出的水花形成有相等半径的⊙M₁与⊙M₂，且⊙M₁与⊙M₂外切，两圆均与椭圆内切．试确定点M₁与M₂的位置及其半径．

20. 难度：中等

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

22. 难度：中等

我们定义双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求证：PF₁⊥PF₂；
（2）求证：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．