2009年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|2≤x＜3}

2. 难度：中等

函数y=sin⁴x+cos²x的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

3. 难度：中等

若数列{a_n}是公差为2的等差数列，则数列是（ ）
A．公比为4的等比数列
B．公比为2的等比数列
C．公比为的等比数列
D．公比为的等比数列

4. 难度：中等

由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有（ ）
A．48个
B．72个
C．96个
D．120个

5. 难度：中等

已知满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（ ）
A．2.5
B．-3
C．5
D．-5

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B（2，0）．若（O为坐标原点），则动点A的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

7. 难度：中等

已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
D．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f （x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：1f（0）=0；2；3f（1-x）=1-f（x）．则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人．为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=    ．

10. 难度：中等

的二项展开式中，x³的系数是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

设a为常数，f（x）=x²-4x+3．若函数f（x+a）为偶函数，则a=    ；f（f（a））=    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，向量．将绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量，则2的坐标为     ．

13. 难度：中等

已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上．设此正方体的表面积为S₁，球的表面积S₂，则=   

14. 难度：中等

如图，从双曲线的左焦点F₁引圆x²+y²=9的切线，切点为T，延长F₁T交双曲线右支于P点．设M为线段F₁P的中点，O为坐标原点，则|F₁t|=    ；|MO|-|MT|=    ．

15. 难度：中等

设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=3，b=5，c=．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．
（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°又AB=BC=PC=1，PB=，CD=2，AB⊥PC．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-PD-C的大小．

18. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且（c是常数，n∈N*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：．

19. 难度：中等

甲、乙两位棉农种植的棉花，连续五年的单位面积产量（千克/亩）统计如下表，则产量较稳定的是棉农 ______．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．