2011年高三数学复习（第8章 圆锥曲线）：8.3 抛物线（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=ax²（a＜0）的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是（ ）
A．11.25cm
B．5.625cm
C．20cm
D．10cm

3. 难度：中等

动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

4. 难度：中等

过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a
B．
C．4a
D．

5. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点，作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，则|AB|长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5

6. 难度：中等

过抛物线y²=2px的焦点F作弦PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定

7. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB大小（ ）
A．小于90°
B．等于90°
C．大于90°
D．不能确定

二、解答题

8. 难度：中等

抛物线y=的准线方程是    ．

9. 难度：中等

经过P（-2，4）的抛物线的标准方程是    ．

10. 难度：中等

已知直线L：y=-1及圆C：x²+（y-2）²=1，若动圆M与L相切且与圆C外切，则动圆圆心M的轨迹方程为    ．

11. 难度：中等

抛物线C的对称轴是3x+4y-1=0，焦点为F（-1，1），且通过点（3，4），则抛物线的准线方程是    ．

12. 难度：中等

求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程及其准线方程．

13. 难度：中等

已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点A到焦点F的距离为5，A点纵坐标为-3，求点A横坐标及抛物线方程．

14. 难度：中等

已知圆x²+y²-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

15. 难度：中等

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y²=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

16. 难度：中等

设抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M、N，点P是MN的中点．
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过？

18. 难度：中等

已知A（4，2），在焦点F的抛物线y²=4x上求一点M，使|MA|+|MF|为最小，并加以证明．

19. 难度：中等

经过抛物线y²=2px的焦点F作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于P₁、P₂两点．
（1）求|P₁P₂|；
（2）当θ变化时，求|P₁P₂|的最小值．

20. 难度：中等

抛物线以y轴为准线，且过点M（a，b）（a≠0），证明不论M点位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．

21. 难度：中等

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．