1991年全国统一高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ）
A．-
B．-
C．
D．

2. 难度：中等

2、焦点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ）
A．y²=8（x+1）
B．y²=-8（x+1）
C．y²=8（x-1）
D．y²=-8（x-1）

3. 难度：中等

函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

4. 难度：中等

4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）
A．12对
B．24对
C．36对
D．48对

5. 难度：中等

5、函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．x=-
B．x=-
C．x=
D．x=

6. 难度：中等

6、如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心

7. 难度：中等

7、已知{a_n}是等比数列，且a_n＞0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，那么a₃+a₅的值等于（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20

8. 难度：中等

8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）
A．（0，0），（6，π）
B．（-3，0），（3，0）
C．（0，0），（3，0）
D．（0，0），（6，0）

9. 难度：中等

9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种

10. 难度：中等

如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

11. 难度：中等

11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

12. 难度：中等

[n（1-）（1-）（1-）…（1-）]等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

13. 难度：中等

如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（ ）
A．增函数且最小值为-5
B．增函数且最大值为-5
C．减函数且最小值为-5
D．减函数且最大值为-5

14. 难度：中等

圆x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

15. 难度：中等

15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合
{x|f （x）g （x）=0}等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

16. 难度：中等

arctg+arctg的值是    ．

17. 难度：中等

不等式的解集是     ．

18. 难度：中等

已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于    ．

19. 难度：中等

（ax+1）⁷的展开式中，x³的系数是x²的系数与x⁴的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=    ．

20. 难度：中等

空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是     ．

21. 难度：中等

求函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．

22. 难度：中等

已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．

23. 难度：中等

已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．

24. 难度：中等

根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x³+1在（-∞，+∞）上是减函数．

25. 难度：中等

已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．

26. 难度：中等

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．