2011年广东省实验中学、华师附中、广雅中学三校高三联考数学试卷（文科）（广州一模后）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为U，若命题p：2011∈A∩B，则命题非p为（ ）
A．2011∈A∪B
B．2011∉A∪B
C．2011∈（C_uA）∪（C_uB）
D．2011∈（C_uA）∩（C_uB）

2. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2x，若a=f（log₃0.8），，，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b

3. 难度：中等

下列命题不正确 的是（ ）
A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直
B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行
C．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直
D．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

4. 难度：中等

若对任意实数a，函数（k∈N）在区间[a，a+3]上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（ ）
A．2
B．4
C．3或4
D．2或3

5. 难度：中等

吴同学晨练所花时间（单位：分钟）分别为x，y，30，29，31，已知这组数据的平均数为30，方差为2，则|x-y|的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

设A₁、A₂为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知两不共线向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（ ）
A．（a+b）⊥（a-b）
B．a与b的夹角等于α-β
C．|a+b|+|a-b|＞2
D．a与b在a+b方向上的投影相等

8. 难度：中等

若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为（ ）
A．[-，]
B．
C．
D．（-，）

9. 难度：中等

若数列{a_n}中，对任意n∈N^*，都有（k为常数），则称{a_n}为等差比数列．下列对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a_n=a•bⁿ+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

10. 难度：中等

任意a、b∈R，定义运算，则f（x）=x*e^x的（ ）
A．最小值为-e
B．最小值为
C．最大值为
D．最大值为e

二、解答题

11. 难度：中等

若框图（如图）所给程序运行的结果，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是    ．

12. 难度：中等

直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知一个几何体的主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为     ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为    

16. 难度：中等

已知（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，求角C．

17. 难度：中等

（1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒．当你到达路口时，求不是红灯的概率．
（2）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∝）上是增函数的概率．

18. 难度：中等

设M，N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，与x轴分别交于A，B两点，且l₁∩l₂=P，若|AB|=1，
（1）若|AB|=1，求点P的轨迹方程
（2）当A，B所在直线满足什么条件时，P的轨迹为一条直线？（请千万不要证明你的结论）
（3）在满足（1）的条件下，求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=kx，g（x）=．
（1）若不等式f（x）=g（x）在区间 （）内的解的个数；
（2）求证：．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II） 已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）．

21. 难度：中等

已知曲线C：xy=1，过C上一点A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直线，交曲线C于另一点A₂（x₂，y₂），再过A₂（x₂，y₂）作斜率为k₂的直线，交曲线C于另一点A₃（x₃，y₃），…，过A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线，交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．