高考数学一轮复习必备（第82课时）：第九章 直线、平面、简单几何体-球与多面体（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为（ ）
A．2160°
B．5400°
C．6480°
D．7200°

2. 难度：中等

棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．3
D．6π

3. 难度：中等

正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

地球表面上从A地（北纬45°，东经120°）到B地（北纬45°，东经30°）的最短距离为（球的半径为R）（ ）
A．
B．πR
C．
D．

5. 难度：中等

给出下列命题：
①正四棱柱是正多面体；
②正四棱柱是简单多面体；
③简单多面体是凸多面体；
④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系是（ ）
A．2F+V=4
B．2F-V=4
C．2F+V=2
D．2F-V=2

7. 难度：中等

棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（ ）
A．πa²
B．2πa²
C．3πa²
D．4πa²

9. 难度：中等

以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）
A．3：1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

地球半径为R，A、B两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为，则A，B两地的经度之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（ ）
A．2π
B．3π
C．
D．12π

12. 难度：中等

已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）

A．arcsin
B．arccos
C．arcsin
D．arccos

二、解答题

14. 难度：中等

一个多面体共有10个顶点，每个顶点处都有四条棱，面的形状只有三角形和四边形，求该多面体中三角形和四边形的个数分别是    ．

15. 难度：中等

有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是     ．

16. 难度：中等

设P，A，B，C是球O面上的四点，且PA，PB，PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a则球心O到截面ABC的距离是    ．

17. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC内接于球，三条侧棱两两垂直且长都为1，求球的表面积与体积．

18. 难度：中等

在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于（R为地球半径），求甲，乙两地间的球面距离．

19. 难度：中等

如图，球心到截面的距离为半径的一半，BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径．
（1）求证：平面ABD⊥平面ADC；
（2）如果球半径是，D分为两部分，且，求AC与BD所成的角．

20. 难度：中等

球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．
（1）求球的体积；
（2）求A，C两点的球面距离．