2010年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={x|x≤1}，集合，则P∩Q=（ ）
A．φ
B．{1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＜0或x=1}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则在复平面内对应点的坐标是（ ）
A．（-3，3）
B．（-3.3）
C．（3，3i）
D．（3，-3）

3. 难度：中等

某单位有业务人员120人，管理人员24人，后勤人员16人．现用分层抽样的方法，从该单位职工中抽取一个容量为n的样本，已知从管理人员中抽取3人，则n为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50

4. 难度：中等

在=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
③m∥n，m∥α⇒n∥α
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

6. 难度：中等

不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-1]∪[4，+∞）
B．（-∞，-2]∪[5，+∞）
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

7. 难度：中等

将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（ ）
A．25
B．35
C．60
D．120

8. 难度：中等

已知=（ ）
A．1
B．
C．-2
D．2

9. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，那么S₁₀₀的值等于（ ）
A．2500
B．2600
C．2700
D．2800

10. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

直线y=a与函数y=x³-3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，0）
C．（0，2）
D．（2，+∞）

12. 难度：中等

如图，已知PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，PA=，PB=BC，⊙O的半径OC=5，那么弦BC的弦心距OM=（ ）

A．4
B．3
C．5
D．6

二、解答题

13. 难度：中等

若二项式的展开式共7项，则n的值为    ，展开式中的常数项为    ．

14. 难度：中等

△ABC的三边长为1，，2，P为平面ABC外一点，它到三顶点的距离都等于2，则P到平面ABC的距离为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率e的取值范围为     ．

16. 难度：中等

已知方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两个实根x₁，x₂，满足0＜x₁＜1＜x₂，则的取值范围是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）设向量，求的最大值．

18. 难度：中等

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P₂．
（1）若m=10，求甲袋中红球的个数；
（2）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P₂的值；
（3）设P₂=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的大小．

20. 难度：中等

曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（2，2ⁿ⁺¹）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

设椭圆C：（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x²+y²=c²有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知，其中e是无理数，a∈R．
（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是-1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．